Tugasan Kumpulan 3 - Elements In Algebraic Concepts

PENGENALAN

Dalam matematik, terdapat 2 peringkat hiraki pemikiran iaitu arithematik dan algebra ( Esty & Teppo, 1996 ). Aritmetik melibatkan pengiraan secara lansung dengan nombor-nombor yang diketahui untuk mendapatkan anu, dengan menggunakan prosidur pengiraan yang diketahui. Manakala algebra pula melibatkan ‘ reasoning ’ tentang anu melalui perkara yang diketahui kepada persamaan.
Menurut Nik Azis Nik Pa, algebra berkembang melalui 3 peringkat iaitu :-
Peringkat retorik yang bermula dari zaman purba dimana masalah matematik dan penyelesaiannya ditulis dalam bentuk perkataan semata-mata.
Peringkat pemendekan yang bermula apabila Diophantus memperkenalkan tata tanda pendek yang membolehkannya untuk menulis semula masalah matematik dalam bentuk ‘persamaan’
Peringkat simbolik yang bermula abad ke-16 apabila ahli matematik menggunakan simbol untuk mewakili konsep algebra.
Secara umumnya, penyelesaian masalah yang berkaitan dengan algebra akan diselesaikan dengan menggunakan pendekatan persamaan dan simbol. Menurut Blanton dan Kaput(2003), guru perlu mencari cara untuk membantu pelajar membina pemikiran algebra dan wujudkan budaya pemikiran tersebut di dalam kelas yang mereka ajar. Blanton dan Kaput mencadangkan guru perlu menggalakkan pelajar mereka mejalankan aktiviti arimetik dan penyelesaian masalah dan bantu mereka menterjemahkan masalah ke dalam bentuk nombor yang mudah.
Namun diperingkat sekolah rendah di Malaysia, murid tidak didedahkan dengan persamaan algebra yang formal. Penyelesaian masalah lebih kepada membina pemikiran aritmetik, dalam proses menghubungkannya dengan konsep algebra. Menurut Boero ( 2001 ), ini dikenali sebagai pra-algebra. Yang mana ia menggunakan patern, manipulasi arimetik, jadual dan graf, hubungan sonsang ( invers relationship) dan lain-lain. Pengenalan konsep pra algebra kepada murid sekolah rendah akan memberi asas yang kukuh untuk mereka berjaya dalam algebra diperingkat sekolah menengah.

Apa itu Algebra?

Secara umumnya algebra boleh dikatakan satu cabang matematik yang menggunakan penyataan matematik bagi menerangkan hubungan antara dua kuantiti unit , masa dan lain-lain. Setiap penyataan matematik bagi menghubungkan dua kuantiti tersebut biasanya di sertakan dengan penggunaan simbol abjad (biasanya x ,y atau z) untuk menerangkan hubungan satu kuantiti dengan kuantiti yang lain. Penggunaan simbol tersebut dipanggil pembolehubah. Algebra bukan sahaja melibatkan penggunaan simbol malah ia melibatkan aktiviti mencari penyelesaian terhadap masalah di dalam kehidupan seharian.
Namun demikian terdapat berbagai pendapat dari ahli-ahli metematik tentang algebra. Antara beberapa pendapat mereka tentang algebra adalah seperti berikut :
Menurut Usiskin(1997), algebra adalah satu bahasa. Ianya terdiri daripada 5 aspek yang utama iaitu anu, rumus, corak nombor, nilai tempat dan hubungan.
Vance ( 1988) pula berpendapat, Algebra boleh dikatakan sebagai pengembangan arimetik atau satu bahasa untuk menghuraikan tentang arimatik. Walau bagaimanapun algebra juga mempunyai berbagai cara untuk memanipulasi simbol dan ia juga merupakan satu cara berfikir.

Sejarah Tentang Algebra
Perkataan algebra berasal daripada bahasa Arab “al-jarb” yang bermaksud ‘gabungan, sambungan atau pelengkap . Ia adalah satu cabang matematik yang berkaitan dengan kajian struktur, hubungan dan kuantiti. Mengikut sejarah, penggunaan algebra dikesan digunakan oleh bangsa Babylon yang telah membangunkan sebuah sistem arimetik maju yang dapat membantu mereka membuat perkiraan dengan gaya algebra. Penggunaan sistem ini melibatkan pengunaan rumus dalam mengira penyelesaian untuk mencari nilai yang tidak diketahui bagi berbagai jenis masalah yang diselesaikan pada hari ini dengan menggunakan persamaan linear.
Perkataan “ algebra” yang digunakan pada masa kini diambil daripada Bahasa Arab “ al-jarb” yang didapati daripada buku al-kitab al-muktasar fi hisab al-gabrwa-l-muqabalah yang bermaksud Buku Ringkasan Tentang Pengiraan Melalui Pelengkap dan Pengimbangan. Buku ini telah ditulis oleh seorang ahli matematik Muslim Parsi yang bernama Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi pada tahun 820M. Perkataan “ al-jarb” membawa maksud “penyatuan semula”. Al-Khwarizmi telah dianggap sebagai “Bapa Algebra” kerana sumbangannya yang besar dalam bidang algebra.
Penerokaan bidang algebra oleh al-Khwarizmi merupakan sumbangan yang besar kepada dunia matematik. Algebra bukan sahaja memberi manfaat kepada dunia amnya tetapi juga kepada umat Islam sepertimana yang pernah dijelaskan dengan penuh tawadduk oleh al-Khwarizmi iaitu sebagai satu ibadah untuk menyelesaikan berbagai-bagai masalah dalam hukum syariah seperti faraid, perniagaan, pembahagian tanah dan sebagainya. Sesungguhnya penyelidikan matematik oleh sarjana Islam adalah berdasarkan tanggungjwab (fardu kifayah) untuk membantu masyarakat dan bersifat terarah manakala penyelidikan sarjana Eropah lebih kepada minat individu dan kadangkala tidak membawa sebarang manfaat kepada masyarakat.

Pengenalan kepada Konsep Algebra

Secara amnya, algebra oleh dibahagikan kepada tiga kategori berikut :
Algebra asas-mencatat sifat-sifat operasi pada sistem nombor nyata sebagai “ pemegang tempat” dengan symbol-simbol untuk mewakili pemalar serta pembolehubah, dan petua-petua untuk ungkapan matematik dan persamaan yang melibatkan simbol-simbol tersebut dikaji.
Algebra Niskala- juga dikenali sebagai “ algebra moden ” yang mengkaji struktur-struktur algebra seperti kumpulan, gelanggang dan medan yang diberikan definasi aksioman.
Algebra semesta-mengkaji sifat-sifat sepunya dalam struktur algebra

Di Malaysia, algebra merupakan satu perkataan yang asing bagi pelajar-pelajar di sekolah rendah. Ini tidak mengejutkan kerana algebra tidak diajar secara formal atau secara lansung di dalam kelas. Walaupun algebra tidak diajar secara lansung di dalam kelas, tetapi penekanan kepada pemikiran algebra mula dimasukkan didalam Kurikulum Baru Sekolah Rendah (KBSR). Melalui KBSR, pelajar di sekolah rendah mula didedahkan dengan pemikiran algebra di mana terdapat beberapa elemen algebra yang telah diterapkan didalam pengajaran dan pembelajaran metematik didalam kelas contohnya dengan penggunaan beberapa perkataaan yang berkaitan dengan pemikiran algebra dalam latihan matematik seperti “find the missing number”, “what number must be added or subtract ” and “ what number multiply by ” yang digunakan di dalam persamaan aritmetik telah mula diajar kepada pelajar sekolah rendah.
Melalui pendedahan seperti berikut selain dapat memberi pengalaman awal kepada pelajar sekolah rendah tentang pengenalan kepada pemikiran algebra, mereka juga dapat membina asas pemikiran algebra mereka sendiri. Dengan adanya asas pemikiran algebra yang kuat guru akan dapat membantu pelajar tersebut menguasai kemahiran algebra diperingkat menengah tanpa banyak masalah. Pendedahan awal di peringkat sekolah rendah akan membantu pelajar untuk menguasai pengetahuan algebra yang lebih kompleks pada peringkat sekolah menengah nanti.

Memperkenalkan Algebra Kepada Pelajar Sekolah Rendah
Pelajar di Sekolah Rendah di Malaysia tidak diajar matapelajaran algebra secara lansung tetapi mereka telah didedahkan kepada elemen-elemen yang ada di dalam algebra dalam kemahiran-kemahiran matematik yang tertentu. Pada peringkat ini mereka boleh dikatakan mempelajari matapelajaran pra-algebra dimana melalui kemahiran-kemahiran matematik yang mereka pelajari semasa didalam kelas ada diselitkan unsur-unsur algebra di dalamnya.
Pada peringkat sekolah rendah penekanan terhadap pemikiran algebra lebih diutamakan. Perkara ini sangat penting kerana pada peringkat ini cara pelajar tersebut berfikir secara algebra adalah lebih penting berbanding kebolehan pelajar tersebut menjawab soalan matematik yang melibatkan algebra. Dalam proses memperkenalkan algebra kepada pelajar sekolah rendah iannya dimulakan dengan menghubungkaitkan proses arimetik yang mereka pelajari didalam kelas di dalam bentuk algebra. Sebagai contoh dalam operasi tambah, tolak, darab dan bahagi, pelajar boleh dilatih untuk menjawab soalan yang berbentuk proses sonsangan.
Sebagi satu contoh operasi yang sebelum ini di ajar dalam bentuk 8 + 5 = _____ boleh ditukar kepada bentuk ___+ 5 = 13 atau 8 + ____ = 18. Melalui latihan bentuk begini, kita sudah mula membina pemikiran algebra kepada pelajar tersebut dimana pelajar mula berfikir dengan cara yang lain daripada kebiasaan mereka untuk mencari jawapan terhadap soalan yang dikemukakan. Dalam proses membina pemikiran algebra terhadap pelajar di peringkat sekolah rendah ianya hendaklah dimulakan dari pewakilan nombor yang bersifat konkrit dahulu sebelum pergi kepada membina pemikiran algebra pelajar ke arah yang lebih abstrak.
Apabila pelajar telah menguasai ataupun telah membina pemikiran algebra dalam diri mereka, barulah mereka boleh dilatih kearah pemikiran algebra yang lebih abstrak itu dengan memberi pelajar soalan yang melibatkan situasi tertentu contohnya seperti berikut :-
Apabila satu nombor ditambah kepada 5, ia memberikan jawapan 11. Apakah nombor tersebut?
Berapakah yang perlu ditolak dari 25 supaya jawapannya menjadi 8?
Ali ada 5 batang pensil. Ahmad pula ada dua kali ganda pensil dari Ali. Berapakah bilangan pencil mereka?
Blanton dan Kaput(2003) telah mencadangkan, untuk menggalakkan pelajar berfikir secara algebra guru hendaklah sentiasa mengemukakan pertanyaan kepada mereka contohnya seperti berikut :-
Boleh beri tahu cikgu apakah yang sedang kamu fikirkan?
Adakah kamu boleh menyelesaikan masalah ini dengan cara yang lain?
Bagaimanakah kamu tahu cara yang kamu gunakan tersebut betul?
Adakah cara yang kamu gunakan tersebut selalunya betul?
Melalui beberpa pertanyaan seperti berikut ia akan dapat meransang fikiran pelajar untuk berkir secara algebra ke arah mencari penyelesaian ke atas sesuatu masalah matematik yang dihadapi.

Elemen –Elemen dalam algebra

Algebra merupakan satu persaman aritmetik yang melibatkan penggunaan simbol-simbol tertentu yang mempunyai satu nilai yang tidak diketahui. Simbol-simbol tersebut juga berfungsi sebagai perhubungan antara satu kuantiti dengan kuantiti yang lain. Algebra terbentuk atau dibina berdasarkan beberapa elemen tertentu antaranya ialah anu, rumus, corak nombor, nilai tempat dan pembolehubah. Elemen-elemen inilah yang membentuk satu persamaan algebra.



Bagaimanakah elemen-elemen ini berfungsi adalah seperti berikut :-
Anu- menggunakan abjad-abjad bagi mewakili sesuatu nilai nombor yang tidak diketahui Antara abjad yang biasa digunakan ialah x dan y.
Rumus-terdapat beberapa rumus tertentu di dalam algebra yang digunakan untuk mencari nilai tertentu. Contohnya untuk mencari luas objek yang mempunyai permukaan melengkung kita boleh gunakan rumus πj².
Corak Nombor-terdapat beberapa corak nombor yang ada dalam persamaan algebra contohnya dalam turutan nombor berikut bergerak secara gandaan tiga- 3, 6, 9, 12, 15,18, 21.
Nilai tempat – dalam persamaan algebra nombor-nombor yang ada didalam persaam tersebut mempunyai nilai-nilai yang tertentu bergantung kepada bentuk nombor tersebut.
Pembolehubah-merupakan nilai nombor yang terdapat didalam satu persamaan algebra yang berfungsi sebagai pembolehubah kepada anu.
Elemen-elemen inilah yang membentuk beberapa persamaan algebra yang biasa kita jumpa dalam matapelajaran matematik di sekolah Menengah. Apabila memperkenalkan elemen-elemen tersebut kepada pelajar sekolah rendah ianya disesuaikan mengikut tahap atau aras pelajar tersebut.

Cara memperkenalkan Algebra kepada pelajar sekoah rendah.

Algebra merupakan satu proses mempelajari perhubungan antara corak nombor yang digabungkan dengan beberapa peraturan yang tertentu yang melibatkan perhubungan antara istilah dan jujukan nombor ( Merriam Webster, 2008 ). Menurut ( NCTM,2000), pengetahuan algebra perlu diajar daripada peringkat tadika sehingga gred 12. Ini penting supaya kanak-kanak di peringkat rendah dapat pendedahan awal tentang corak, hubungan dan fungsi, analisis corak dan penggunaan simbol untuk mempenalkan idea matematik dalam penyelesaian masalah.
Untuk membina pemikiran algebra pada pelajar di peringkat sekolah rendah hendaklah bermula dengan aktiviti konkrit sebelum diperkenalkan dengan perwakilan separa konkrit dan juga abstrak. Dalam proses membina pemikiran algebra terhadap mereka guru hendaklah membimbing pelajar tersebut melalui elemen-elemen yang ada di dalam algebra seperti corak, hubungan, anu, fungsi, rumus dan nilai tempat. Menurut Blanton dan Kaput(2003), guru yang mengajar di sekolah rendah perlu menggunakan segala pengalaman algebra yang pernah mereka pelajari diperingkat tinggi untuk menghungkaitkan konsep algebra kepada pelajarnya. Antara langkah-langkah yang perlu dilakukan oleh guru dalam proses membina dan menerapkan pemikiran algebra kepada pelajar di peringkat sekolah rendah adalah seperti berikut :-
Memperkenalkan corak objek-objek yang ada disekeliling pelajar. Pada peringkat ini pelajar akan dibimbing untuk mengenali corak-corak yang ada di sekeliling mereka seperti corak warna, bentuk, bunyi, nombor, abjad dan lain-lain.
Memperkenalkan corak yang berulang secara seragam. Pada peringkat ini pelajar akan mengenal corak yang berulang secara seragam, menghuraikan corak tersebut secara lisan dan membina susunan corak tersebut dengan berbagai cara.
Apabila pelajar sudah memahami corak objek yang berulang secara seragam dan boleh menghuraikan dan membina mengikut pemahaman mereka sendiri guru bolehlah menggunakan corak nombor dan bimbing pelajar menyusun nombor tersebut dalam turutan menaik atau menurun.
Seterusnya pelajar dibimbing untuk mengenalpasti hubungan antara dua kuantiti nombor dan bina hubungan antara dua hasil tambah dua digit nombor mengikut pemahaman mereka sendiri. Contoh 4 + 5 = 9 sama dengan 3 + 6 = 9. Daripada sini pelajar dibimbing pula untuk membuat generalisasi antara dua hubungan tersebut. Daripada aktiviti ini pelajar akan dapat merekodkan hubungan nilai yang setara antara dua penambahan nombor dua digit. Contoh 4 + 5 adalah setara dengan 3 + 6.
Peringkat seterusnya pelajar kan mula merekod berbagai cara pengulangan nombor yang seragam melalui berbagai strategi. Contoh 1, 4, 7, 10,13 atau 2.2, 2.0, 1.8, 1.6
Pelajar akan terus di bimbing untuk membina perhubungan antara operasi dua nombor yang lain contohnya 2 x 4 sama nilai dengan 4 x 2. Pelajar akan terus dibimbing untuk membuat perhubungan antara operasi darab dan bahagi. Contoh jika 6 x 4 = 24 maka 24 ÷4 = 6 dan 24 ÷ 6 = 4
Apabila pelajar sudah boleh memahami hubungan antara dua operasi nombor maka boleh diperkenalkan operasi untuk mencari nilai nombor yang tidak diketahui ( find unknown number ) kepada pelajar. Contoh + 5 = 10 atau
8 + = 14.
Viii) Seteruskan pelajar dibimbing menyusun corak bentuk geometri yang berulang secara seragam contohnya corak susunan segitiga atau segiempat yang disusun dalam turutan dua-dua atau tiga-tiga. Seterusnya bimbing pelajar menyusun objek geometri tersebut dalam bentuk jadual. Disini pelajar akan dapat melihat dengan jelas corak hubungan antara bilangan segitiga dengan bilangan sisinya.

Vvi) Dan akhirnya apabila pelajar sudah boleh memahami dan menguasai langkah-langkah diatas barulah guru-guru boleh memperkenalkan penggunaan simbol algebra dalam beberapa persamaan ringkas seperti berikut :-
x + 6 = 15
8 + y = 16
9 + z = 5 + 6
10 – x = 6 – 2

Menyelesaikan masalah algebra melalui Strategi Penyelesaian Masalah
Untuk menjadikan pembelajaran dan pengajaran matematik itu bermakna kepada pelajar, guru perlu membimbing pelajar menyelesaikan masalah yang mempunyai hubungkait dengan kehidupan harian pelajar. Ini dapat membantu pelajar mengaplikasikan pengetahuan algebra mereka melalui pengalaman mereka sendiri . Berikut adalah satu contoh soalan yang memerlukan pelajar menggunakan pemikiran algebra bagi menyelesaikan satu masalah dalam situasi harian. Dalam masalah ini pelajar akan menggunakan langkah-langkah penyelesaian menggunakan Kaedah Polya bagi mendapatkan jawapan.
Contoh Soalan
Seorang Peladang memelihara beberapa ekor ayam dan kambing. Pada suatu hari apabila dia mengira bilangan kaki haiwan peliharaannya dia mendapati semuanya ada 88 kaki. Berapakah bilangan ayam dan kambing yang dimiliki oleh Peladang itu?
Untuk menyelesaikan soalan di atas pelajar boleh menggunakan kaedah cuba jaya dengan menggunakan pemikiran algebra bagi mendapatkan bilangan kambing dan ayam
Memahami masalah

Pelajar perlu memahami apa yang dikehendaki dalam soalan. Dalam soalan di atas pelajar diminta mencari berapa bilangan ayam dan kambing yang dipelihara oleh peladang tersebut.
Pelajar perlu memahami maklumat diberi bahawa bahawa jumlah kaki semua haiwan yang ada di ladang tersebut ialah 88 kesemuanya.
Pelajar perlu mengetahui bahawa bilangan kaki bagi seekor ayam dan seekor kambing adalah berbeza seekor ayam mempunyai 2 kaki dan seekor kambing mempunyai 4 kaki.

Membuat Perancangan
Pelajar menyusun maklumat yang diberi seperti berikut :

1 kambing = 4 kaki
1 ayam = 2 kaki
Jumlah Kambing + ayam = 88 kaki

Memikirkan apakah kaedah yang sesuai untuk mencari jawapan.
Menggunakan kaedah cuba jaya bagi menyelesaikan masalah tersebut.




Melaksanakan perancangan

Dengan menggunakan kaedah cuba jaya pelajar akan menjalankan kiraan seperti berikut :

Cuba Jaya 1
20 ekor ayam x 2 = 40 kaki
20 ekor kambing x 4 = 80 kaki 120 kaki
Jumlah = 120 kaki terlalu tinggi

Cuba Jaya 2
20 ekor ayam x 2 = 40 kaki
10 ekor kambing x 4 = 40 kaki 80 kaki
Jumlah = 80 kaki hampir tepat

Cuba Jaya 3
20 ekor ayam x 2 = 40 kaki
12 ekor kambing x 4 = 48 kaki 88 kaki
Jumlah = 88 kaki pelajar dapat jawapan

Menyemak semula

Pelajar boleh menyemak semuala jawapan pada cuba jaya ketiga dengan mendarab bilangan haiwan dengan jumlah kakinya untuk memastikan bilangan kaki haiwan tersebut sama seperti maklumat di dalam soalan.
Dalam penyelesaian masalah para pelajar harus sedar bahawa sesetengah masalah boleh diselesaikan dengan beberapa strategi. Guru matematik perlu memainkan peranan dengan bukan hanya sekadar mendedahkan beberapa heuristik penyelesaian masalah kepada pelajarnya tetapi pengajaran guru harus memberi tumpuan kepada proses pemikiran yang terbentuk semasa pelajar mengkaji, memahami dan menyelesaikannya. Secara kesimpulannya, algebra adalah bahasa yang paling sesuai untuk menulis arimetik secara umum dan perlu menyokong arimetik dan bukannya terpisah darinya. Algebra juga adalah lanjutan kepada arimetik iaitu sebagai satu proses mengurus arimetik.

Rujukan
Leonard M.Kennedy & Steve Tipps (2000). Guiding Children’s Learning of Mathematics. Wadsworth Thomson Learning, USA.
Maulfry Worthington & Elizabeth Carruthers (2003).Children’s Mathematics.Paul Chapman Publishing, London.
Sydney L.Schwartz(2005). Teaching Young Mathematics.Praeger,Westport, Connecticut, London.
Rosalind Charlesworth & Deanna J. Radeloff ( 1978). Experience in math for young children . Delmar Publishers INC, New York.
Doug French (2002). Teaching and learning algebra.Continuum, London & New York.
Ruth Merttens (1991 ). Teaching Primary Maths. Hodder & Stoughton, London, Sydney,Auckland,Toronto.



.

Laporan Projek - Kajian Tentang Pemikiran Murid Tahun 4 Memahami Konsep Perimeter Objek Yang Berbentuk Segiempat sama, Segiempat tepat dan segitiga

Pengenalan

Terdapat berbagai objek yang berbentuk geometri berada di sekeliling murid. Mereka sentiasa menggunakan objek tersebut tanpa menyedari bahawa objek tersebut adalah terdiri daripada berbagai bentuk geometri yang mempunyai nama dan ciri-ciri yang tertentu. Pemahaman mereka terhadap ciri-ciri bentuk sesuatu objek geometri memerlukan bimbingan yang berterusan dari guru. Untuk memastikan murid dapat memahami ciri-ciri tersebut dengan berkesan satu aktiviti yang membolehkan murid menjana idea mereka sendiri untuk memahami sesuatu konsep tentang sesuatu bentuk perlu difikirkan oleh seseorang guru. Justeru itu, kajian ini dijalankan bagi melihat bagaimana murid menggunakan pemikiran mereka bagi memahami konsep perimeter sesuatu objek yang berbentuk segiempat sama, segiempat tepat dan segitiga.

Kajian ini dijalankan ke atas satu kumpulan murid Tahun 4 di SK Tanjong Malim.. Pengkaji memilih kumpulan murid tersebut kerana mereka merupakan kumpulan murid yang diajar oleh pengkaji sendiri. Perkara ini akan memudahkan lagi pengkaji untuk mengumpul data kerana pengkaji akan sentiasa berada bersama mereka sepanjang kajian ini dijalankan. Pengkaji menggunakan kaedah melukis bentuk pada kertas petak bagi melihat bagimana murid tersebut mengembangkan idea mereka untuk memahami konsep perimeter bentuk segiempat tepat, segiempat sama dan segitiga.

Dalam kehidupan seharian, murid telah biasa membuat anggaran dan perbandingan panjang sesuatu objek atau jarak sesuatu tempat dengan menggunakan anggota badan seperti tangan dan kaki. Selain daripada itu juga murid telah terbiasa menggunakan objek maujud yang ada disekeliling mereka seperti kayu yang lurus sebagai medium untuk menganggar atau membandingkan panjang objek atau jarak sesuatu tempat. Berdasarkan situasi tersebut pengkaji telah mendapat satu idea untuk menggunakan kertas petak sebagai alat untuk mengkaji bagaimana murid menggunakan idea mereka bagi memahami konsep perimeter.

Murid lebih mudah memahami sesuatu konsep matematik jika mereka sendiri yang menjalankan penyiasatan untuk mencari jawapan kepada masalah yang mereka hadapi. Dalam kajian ini pengkaji memilih kaedah inkuiri penemuan semasa menjalankan kajian terhadap kumpulan murid tersebut kerana pengkaji percaya bahawa mereka akan lebih mudah memahami sesuatu konsep dan dapat menyimpan pengetahuan itu dalam ingatan mereka bagi tempoh masa yang lama jika mereka sendiri yang bertindak untuk mendapatkan jawapan atau jalan penyelesaian. Dalam hal ini pengkaji akan bertindak sebagi fasilitator atau pemudah cara kepada murid. Pengkaji memilih kertas petak sebagai instrumen kajian kerana pelajar mudah melukiskan bentuk segiempat sama, segiempat tempat dan segitiga pada kertas tersebut. Hasil dari kajian terdahulu juga membuktikan keberkesanan kaedah yang digunakan dalam membantu pelajar memahami konsep matematik dengan lebih jelas.

Implikasi Kajian

Kajian ini diharap akan dapat mengenalpasti kaedah yang sesuai bagi membantu murid bagaimana untuk memahami konsep perimeter sesuatu objek. Kajian ini diharap akan dapat menentukan samaada pengajaran dan pembelajaran mata pelajaran Matematik yang menggunakan kertas petak untuk memahami konsep perimeter dapat menghasilkan pembelajaran yang bermakna kepada murid di Sekolah Rendah. Selain daripada itu, guru juga akan dapat melihat perbezaan pemikiran matematik murid mereka dalam menyelesaikan sesuatu masalah. Para guru juga dapat menilai semula sejauh mana keupayaan mereka mengaplikasikan pelbagai pendekatan pembelajaran yang bersesuaian dalam usaha meningkatkan pemahaman murid dalam memahami sesuatu konsep matematik dengan lebih jelas dan berkesan.

Kajian lepas

Kaedah Inkuiri Penemuan merangkumi semua aktiviti merancang, menyiasat, menganalisa dan menemui. Pembelajaran melalui kaedah ini memerlukan kemahiran-kemahiran seperti membuat perbandingan dan mencari ciri-ciri sama untuk membuat generalisasi. Dalam pembelajaran matematik, murid-murid boleh memahami sesuatu konsep matematik melalui aktiviti menyiasat, mengumpul maklumat dan menganalisa maklumat ( Mok Soon Sang, 1996 ). Mengikut Jean Piaget pula pelajar pada peringkat umur 7 hingga 10 tahun peringkat kognitif mereka masih lagi berada di tahap operasi konkrit. Penggunaan kertas petak ( square paper ) di lihat sangat sesuai digunakan sebuah medium untuk membantu murid Tahun 4 dalam proses memahami perimeter objek yang berbentuk segiempat sama, segiempat tepat dan segitiga kerana keadaan kertas tersebut yang mempunyai garisan lurus serta petak-petak kecil yang sama besar akan memudahkan murid melukis bentuk dengan mudah walaupun tanpa menggunakan pembaris.

Meneroka pemikiran murid Tahun 4 bagaimana mereka menggunakan idea mereka untuk memahami konsep perimeter.

Projek ini saya jalankan terhadap murid yang saya ajar sendiri di sekolah. Kelas yang saya ajar ini merupakan kelas yang keempat dari empat empat buah kelas Tahun 4. Mengikut susunan kedudukan kelas Tahun 4 di sekolah ini, kelas ini adalah kelas yang terakhir. Kedudukan murid yang ada di kelas ini ditentukan dari pencapaian peperiksaan akhir tahun mereka semasa mereka berada di dalam Tahun 3. Pencapaian matematik ,mereka bolehlah dikatakan sederhana. Mereka masih boleh menguasai kemahiran asas matematik seperti tambah, tolak, darab dan bahagi tetapi agak perlahan sedikit berbanding dengan murid di tiga buah kelas Tahun 4 yang lain.

Dalam proses untuk menjalankan projek ini saya telah membuat pemerhatian terhadap kemampuan murid saya untuk menjalankan aktiviti yang akan mereka jalankan. Hasil daripada pemerhatian tersebut saya dapati kebanyakkan mereka dapat melakukan dengan baik aktiviti yang melibatkan mengukur panjang objek. Di sini saya telah membuat keputusan untuk untuk memilih tajuk bentuk dan ruang serta memilih kemahiran mengukur dan merekodkan perimeter bentuk segiempat sama, segiempat tepat dan segitiga sebagai kemahiran yang hendak saya jalankan dalam aktiviti mereka. Berikut ialah perincian daripada tajuk yang telah saya pilih :-

Tajuk : Bentuk dan Ruang

Objektif : Mengukur dan merekodkan perimeter bentuk Segiempat sama,

Segiempat tepat dan Segitiga.

Kelas : Tahun 4 Mesra

Bilangan Murid : 30 orang

Daripada aktiviti yang akan mereka jalankan nanti saya harapkan murid saya akan dapat menerangkan konsep perimeter dengan jelas di mana mereka akan dapat menunjukkan bagaimana menjana idea untuk memahami konsep perimeter sesuatu objek itu diperolehi dengan menunjukkan penambahan sisi dan menjumlahkan semua sisi objek tersebut untuk mendapatkan perimeter. Saya juga mengharapkan murid saya tahu mengukur dan merekodkan perimeter sebarang objek yang berbentuk segiempat sama, segiempat tepat dan segitiga yang ada di sekeliling mereka.. Selain daripada itu saya juga mengharapkan murid saya akan dapat menamakan dengan betul bentuk objek yang ada di sekeliling mereka seperti permukaan meja, permukaan lantai di dalam kelas dan kepingan mozek yang ada di rumah dan membuat perbandingan perimeter objek tersebut antara satu sama lain.

Selain daripada sebab di atas, saya mengambil keputusan untuk memilih tajuk Bentuk dan Ruang kerana saya dapati murid saya mempunyai pengetahuan sedia ada yang amat bersesuaian untuk mengajar tajuk ini. Hasil daripada perbincangan dengan murid, saya mendapati murid saya mempunyai beberapa pengetahuan sedia yang akan memudahkan mereka untuk menjalankan kerja projek tersebut. Antara pengetahuan sedia ada murid ialah mereka telah kenal bentuk segiempat sama, segiempat tepat dan segitiga kerana telah mempelajarinya semasa berada di Tahun 2 lagi. Mereka juga boleh memberikan beberapa contoh objek di sekeliling mereka sama ada objek yang berada di dalam kelas, di luar kelas mahu pun di rumah yang mempunyai bentuk segiempat sama, segiempat tepat dan segitiga.

Selain daripada itu murid saya tahu ciri-ciri segiempat sama, segiempat tepat dan segitiga dan boleh melukiskan ketiga-tiga bentuk tersebut dengan menggunakan ukuran yang betul. Apabila ditanya, mereka boleh memberi tahu berapa bilangan sisi setiap objek yag berbentuk seperti berikut, contohnya pelajar saya boleh memberitahu kepingan lantai mozek di rumah mereka berbentuk segiempat sama dan ia mempunyai 4 sisi yang sama panjang. Murid saya juga boleh memberikan beberapa contoh objek-objek lain yang mempunyai permukaan segiempat sama, segiempat tepat dan segitiga seperti permukaan buku teks, meja dan bentuk ruang di dalam kelas.

Murid saya juga tahu mengukur ukuran panjang dalam unit meter dan centimeter kerana mereka telah mempelajari tajuk ini sebelum tajuk projek mereka di ajar. Murid saya juga telah menjalankan aktiviti mengukur panjang objek semasa tajuk tersebut saya ajar. Mereka juga tahu menukarkan unit mm kepada cm dan cm kepada m kerana kemahiran tersebut telah saya ajar sebelum ini dan mereka juga telah biasa diberi latihan dan ujian penukaran unit.

Membuat gambaran awal tentang perkataan ” Perimeter ”

Sebagai permulaan untuk meransang pemikiran murid terhadap pemahaman terhadap konsep perimeter saya telah mengedarkan kertas kosong kepada mereka dan menyuruh mereka menulis dan melukiskan apa yang mereka faham tentang perimeter berdasarkan pengalaman mereka sendiri. Setelah arahan diberikan ramai diantara murid tidak faham apa yang hendak dibuat dan ramai yang bertanya apa yang perlu dilakukan. Setelah saya mengulangi arahan tersebut sebanyak 2 hingga 3 kali disamping memberikan sedikit gambaran dan contoh barulah mereka mula melakukannya.

Daripada pemerhatian saya terhadap aktiviti yang sedang mereka lakukan, saya dapati mereka membuat berbagai andaian terhadap perkataan perimeter itu sendiri. Ada yang melukis bulatan, ada yang melukis segiempat tepat, ada yang melukis kereta yang berbentuk empat segi dan ada yang menuliskan maksud pertimeter tersebut dari perspektif yang pelbagai.

Setelah saya mengumpulkan semua kertas yang diberi dan menyemak hasil kerja setiap murid, saya mendapati 5 hingga 8 orang murid menggambarkan perimeter itu satu bentuk segiempat yang dikelilingi satu tanda di bahagian tepinya. Tedapat juga 2 hingga 4 orang murid yang menggambarkan perimeter itu sebagai panjang garisan atas dan bawah objek yang berbentuk segiempat. Dari 30 orang murid di dalam kelas tersebut terdapat 5 orang murid yang dapat menyatakan konsep perimeter yang hampir tepat di mana mereka menyatakan perimeter itu sebagai jumlah ukuran.

Saya telah menjalankan sesi perbualan terhadap 2 orang murid yang saya pilih secara rawak dari kumpulan murid di dalam kelas itu dan bertanyakan beberapa soalan kepada mereka mengenai apa yang telah mereka buat di dalam kertas yang diedarkan. Berikut adalah hasil daripada temubual yang telah saya jalankan :-

i) Murid 1 (Mohd Haziq bin Abd Ghani ) – murid ini menggambarkan perimeter dengan melukiskan sebuah bentuk segiempat tepat dan melukiskan satu tanda di setiap sisi bentuk yang dilukis. Dari perbualan dengan murid tersebut dia menyatakan bahawa apa yang dia faham tentang perimeter adalah jumlah sisi bentuk tersebut. Dia menyatakan perimeter segiempat tepat itu adalah 4 berdasarkan bilangan sisi yang ada pada bentuk tersebut.

ii) Murid 2 ( Irdeana Anatasia ) – murid ini menyatakan perimeter sebagai jumlah ukuran panjang objek. Dia menyatakan demikian kerana menurutnya perkataan ’meter’ itu sendiri bermaksud satu unit yang digunakan dalam ukuran panjang dan dengan yakin dia menyatakan perimeter itu bermaksud jumlah ukuran panjang sesuatu objek.

iii) Murid 3 ( Mohd bin Syafiq Abdul Rahman) - murid ini menyatakan perimeter sebagai ukuran sisi sebuah bulatan. Dia telah melukiskan satu bulatan besar di atas kertas yang diberi untuk menunjukkan kefahamannya.

Dari hasil aktiviti yang dibuat oleh murid tersebut saya merumuskan bahawa mereka telah mendapat beberapa idea untuk memahami konsep perimeter tersebut dan dari pemerhatian serta perbualan yang dijalankan didapati idea untuk memahami konsep tersebut sudah ada di dalam fikiran mereka tetapi masih lagi samar dan mereka perlu dibimbing dengan aktiviti lain yang dapat membantu mereka mencapai kefahaman terhad konsep perimeter itu sendiri. Saya telah merancang satu lagi aktiviti yang bersesuaian iaitu melukis bentuk segiempat tepat, segiempat sama dan segitiga di atas kertas petak dan menyuruh murid menjalankan aktiviti tersebut secara individu.

Aktiviti melukis bentuk segiempat tepat, segiempat sama dan segitiga atas kertas petak ( square paper )

Daripada pengalaman saya mengajar matapelajaran matematik saya dapati murid Tahun 4 telah mempunyai pengetahuan mengenai bentuk objek. Mereka tahu bagaima rupa bentuk segiempat sama, segiempat tepat dan seitiga dan dapat menyatakan cirri-ciri objek tersebut dengan jelas seperti bahagian sisi dan bahagian sudut. Melihat kepada pengetahuan murid tentang bentuk tersebut, saya telah menjalankan satu lagi aktiviti iaitu melukis bentuk segiempat sama ( square ), segiempat tepat ( rectangle ) dan segitiga (triangle ) di atas kertas petak ( square paper ).

Saya telah mengedarkan kertas petak (square paper ) kepada semua murid beserta dengan satu lembaran kerja yang perlu mereka isi untuk menyatakan hasil aktiviti yang telah mereka lakukan. Semasa menjalankan aktiviti ini saya memberikan kebebasan kepada murid untuk melukiskan bentuk tersebut mengikut saiz yang mereka suka. Dari pemerhatian yang saya buat hampir keseluruhan murid di kelas itu dapat melukiskan tiga bentuk tersebut dengan betul. Saya menyuruh murid mengira berapa bilangan petak yang ada pada setiap sisi bentuk yang mereka lukis dan rekodkan di dalam jadual pada lembaran kerja yang diberi.

BENTUK	SISI 1	SISI 2	SISI 3	SISI 4	JUMLAH
Seiempat sama ( square)
Segiempat tepat ( rectangle)
Segitiga (triangle)

Dari pemerhatian saya terhadap murid tersebut, ada yang masih lagi keliru tentang bahagian sisi yang perlu dikira. Terdapat murid yang mengira bilangan kotak pada setiap tepi bahagian bentuk yang mereka lukis. Apabila dilihat daripada keseluruhan kelas sebahagian besar daripada mereka dapat mengira bilangan sisi bentuk yang mereka lukis dengan betul dan dapat menjumlahkan semua sisi bentuk dengan tepat.

Dari aktiviti yang dijalankan saya bertanya kepada semua murid adakah terdapat perbezaan pada bilangan sisi yang mereka perolehi dari setiap bentuk yang mereka lukis. Mereka menyatakan terdapat perbezaan ketara antara bilangan sisi segiempat tepat dan segiempat sama dan segitiga di mana bilangan sisi segiempat tepat adalah lebih besar dari bilangan sisi segiempat sama dan segitiga. Lima orang daripada kumpulan murid tersebut telah bertanya kepada saya adakah jumlah bilangan petak bentuk yang dilukis menunjukkan jumlah ukuran keliling bentuk tersebut dan adakah jumlah petak dikeliling bentuk yang dilukis itu merupakan apa yang di panggil perimeter.

Apabila saya dapati ada antara murid telah bertanya soalan yang sedemikian saya mengandaikan mereka telah memahami apa yang dikatakan perimeter dan menyatakan kepada mereka jumlah ukuran petak di sekeliling bentuk yang mereka lukis itu merupakan perimeter bagi bentuk tersebut. Untuk meneruskan lagi kefahaman mereka terhadap konsep perimeter bagi bentuk segiempat sama, segiempat tepat dan segitiga, saya telah memberikan satu soalan kepada mereka untuk diselesaikan seperti di bawah:-

“ Jika ukuran satu sisi petak pada bentuk yang kamu lukis tersebut mewakili 1 cm, tuliskan perimeter bagi tiga bentuk yang kamu lukis. “

Saya menyuruh murid merekodkan dalam jadual ukuran setiap sisi dalam unit sentimeter dengan mewakili 1 cm bagi setiap petak dan minta murid dapatkan perimeter bentuk yang mereka lukis di atas kertas petak tersebut.

BENTUK	SISI 1 (CM)	SISI 2 ( CM )	SISI 3 (CM)	SISI 4 (CM)	PERIMETER (CM)

Daripada pemerhatian yang saya buat kebanyakan murid dapat merekodkan perimeter bentuk yang mereka lukis di atas kertas petak (square paper ) berdasarkan jumlah bilangan sisi yang mereka perolehi.

Rumusan

Dari hasil kajian yang telah dijalankan saya mendapati pemahaman konsep matematik lebih mudah di terapkan kepada murid jika mereka sendiri yang melakukkan aktiviti untuk membina kefahaman mereka sendiri. Menurut (Mohamad Daud Hamzah, 1990) setiap murid mempunyai skema pengetahuan mereka sendiri. Mereka menghimpunkan pelbgai maklumat dalam ingatan mereka. Apabila mereka mentakul sesuatu kejadian, mereka akan mengaktifkan sesuatu konsep. Konsep yang diaktifkan ini akan mengaktifkan konsep lain yang berkaitan melalui proses rebakan gegaran. Mengikut Jean Piaget, kanak-kanak yang berumur antara 7 hingga 10 tahun,perkembangan kognitif mereka masih pada peringkat operasi konkrit dan semi konkrit. Untuk menerapkan konsep matematik dengan berkesan aktiviti yang melibatkan penggunaan deria motor seperti melukis gambarajah sangat sesuai dalam membantu mereka memahami sesuatu konsep matematik tersebut dengan jelas.

Rujukan

Noor Shah Saad(2001). Teori Perkaedahan Pendidikan Matematik.Prentice Hall, Petaling Jaya Selangor.

Wan Yusof,Lee Gik Lean, Rabiyah ( 2006).Mathematics Textbook Year 4.Dewan Bahasa dan Pustaka, Kuala Lumpur.

Mohamad Khairuddi, Marzita Puteh, Santhi Periasamy (2006 ). Mathematics Textbook Year 5. Dewan Bahasa dan Pustaka, Kuala Lumpur

Santhi Periasamy, Marzita Puteh,Mohd Khairuddi Yahya,Lai Kim Leong, Rozali Mohd Ali(2007). Mathematics Year 6 Teacher’s Guidebook. Dewan Bahasa dan Pustaka, Kuala Lumpur.

Mok Soon Sang(1996) , Pengajian Matematik Untuk Diploma Perguruan. Kumpulan Budiman Sdn Bhd, Kuala Lumpur.

Prof . Dr.Ansary Ahmad & Prof. Madya T.K Mukherjee ( 2004). Methodology In Teaching Mathematics. Open Universiti Malaysia.

How To Develope Statistical Thinking

How Kids Learn – the statistical enquiry cycle

Statistical Investigations
All the New Zealand CensusAtSchool activities have been developed using the investigative cycle: Problem, Plan, Data, Analysis, Conclusions. Statisticians use this cycle and we think that it is important that students should begin to as well.
Using real data means that real investigations can be carried out. Because the data is real, there is probably more than one story that can be told by the data. Exploring stories in real data helps to make the process more meaningful and relevant for children.
Problem
• Formulating and defining a statistical question is important as it tells students what to investigate and how to investigate it.
• Most investigations begin with a wondering ‘I wonder if boys are more technologically literate than girls?’ From this general question a statistical question needs to be developed so that a meaningful investigation can be carried out. All the terms in the questions need to be defined and understood by the students.
• Activities have been written to allow for both collecting data from the class and obtaining it from CensusAtSchool. While the suggestion is that students survey students in their class, you could also use a sample of data from CensusAtSchool.
• Lead the students through a series of questions to help them think about the problem and to develop a statistical question of their own.
o how do we go about answering this question?
o what do we need to know?
o how will we find the information that we need?
o what will we do with the information that we collect?
o who will find this information useful?
o is this information relevant to the problem?
• The variables and terms in the question need to be understood and defined by the students so they interpret the question correctly.
The problem section is about what data to collect and who to collect it from and why it’s important.

Plan
• Students learn more effectively if they are encouraged to make predictions and then to test them and reflect on the difference between their prediction and the result.
• Level 3-4: Suggest the sample size and discuss sampling methods students could use. Students need to be able to justify the sampling and data collection methods.
• Level 5/6/7: Students should select their own sample size and method and provide justification.
• The first question to ask is: How would you answer the question now, before you gather the data? Remember to justify your answer.
• Further questions:
o how will we gather this data?
o what data will we gather?
o what measurement system will we use?
o how are we going to record this information?
• At every opportunity ask students to predict. This encourages them to think about the data and reveals their misconceptions. Later dissonance is created between their prediction and the results and so they may drop their misconceptions
• Students may need to manipulate the data for example, to allow for the thickness of clothing.
The planning section is about how students will gather the data.

Data
Students may record their data in any format as long as it is clear and easily manipulated. A table is usually the best format.
Tables are the most common organisational tool that statisticians use. The standard entry in on the students’ worksheet is shown below. Sometimes the table columns are filled in; sometimes they are left for the students to fill in. Each column will usually represent one variable. Each row usually represents a person from the CensusAtSchool databank or from your class.
How are you going to record your data? Statisticians often use a table like this:
Students Variable 1 Variable 2 Variable 3 Variable 4
Student one
Student two
The data section is concerned with how the data is managed and organised.

Analysis
• When students look at the data table they should notice features like largest or smallest measurements, modes. This will help them to select the correct scales for their graphs.
• The first few questions should help the students to look at the data in the table.
• A row stands for the measurements of one person.
• You could also draw students’ attention to their own data so they have a reference point to reason with other data.
• Students should be encouraged to make another prediction now they have looked at the data in the table.
• Students should be encouraged to create their own graphs rather than being told which graph to use so that they have ownership of the data detective and discovery process. It doesn’t matter which graphs they use to plot the data, as long as they are investigating the stories in it and the graph is suitable for the type of data.
• One of the key aims of statistics is to deal with the variation in data and to say whether it is natural or random or whether it is caused by something else. You might like to ask students to think about what the graph would look like if …
• Students are asked to summarise their analysis using two sentence starters:
o I noticed that …
o I wondered if …
The analysis section is about exploring the data and reasoning with it.
Graphing information
• Graph/ Data/ plotted data: The graph is the whole image of the plotted data, its title, and the axes. It is not just the plotted data, so to ask ‘what is the shape of the graph?’ is doesn’t make sense. It is more correct to ask: ‘What is the shape of the plotted data?’ or ‘what is the shape of the distribution?’
• Developing understanding about graphs and creating them. Recent research shows that younger children can create and reason with their own graphs much better than with standard graphs. — This means that they should be encouraged to create their own graphs to explore the stories in the data. It is acceptable for children up to level 5 to be creating their own graphs. This means they may choose to draw two graphs side by side, pictograms or even put all the data on one graph but have several keys. The aim is to encourage statistical thinking rather than perfect graphs. Teach graphing conventions such as giving the graph a title and labelling the axes to students as a way of making it easier for them to communicate their findings with others rather than a separate skill lesson. This demonstrates the purpose of conventions; to aid communication.
• Students find determining which scales to use difficult as it depends on the data set. Use different sizes of data to give them experience in considering scales.
• Encourage students to create many different graphs. Statisticians use multiple graphs to explore the data as each may describe a different story in the data. They also look for the best few graphs to present their stories. Students should also be encouraged to do the same. For lower level students the worksheets are more guided in this aspect.
• The transition from ungrouped to grouped data is difficult. To help lower level students use post it notes or paper squares to construct graphs so that students are still see their individual records. Intermediate students often still need to be able to identify individual data points so that they can understand what the graph means. When introducing box plots in level five keep the data points behind the plot so students can see how the box plot is related to the data. Ask questions to prompt students to think of the data in context. E.g. what does this data point mean? Where would a short person with big feet be on the graph?
• Students also find the transition from discrete to continuous data difficult. The transition from using frequencies to relative frequencies also requires a jump in their thinking as relative frequencies require proportional thinking. Relative frequencies are critical for comparing unequal sized data sets which is required in level five of the curriculum.
• Graphical sense and behaviours to encourage
1. Recognise components of graphs e.g. what is the mode, where does most of the data lie? Where is the median?
2. Using graphical language e.g. spread, skew, variability, mean, mode, spikes
3. Understanding relationships between tables, data, and graphs. Being able to convert between formats.
4. Reading the graph objectively rather than adding their personal opinions
5. Interpreting information in a graph and answering questions about it
6. Recognising which graphs are appropriate for the data and the context.
7. Looking for possible causes of variation
8. Discovering relationships between variables. For example as a person’s height increases foot size also increases.
• Developing questions for graphs: It is good to have questions from all these levels of questions and to ask them roughly in this order as the earlier levels help students to look more closely at the graph.
o Reading the data: taking information directly off the graph. For example, what is the largest foot size? What is the mode? Who is the shortest student in this sample?
o Reading between the data: interpreting the graph, the answer will take one step to solve. For example, how many children would be able to ride a roller coaster that had a minimum height restriction of 1.30m?
o Reading beyond the data: extending, predicting or inferring. For example, based on this data what do you think the height of Big foot was if he was a human and he had feet that were 50cm long? If another student came into the class, how many texts do you think they will send in one day?
o Reading behind the data: connecting the data to the context. For example: If you measured another class’s feet would you get a similar distribution? If you measured your left foot would you get a similar result? Why do you think there is a sudden increase in boys heights when they are 15 years old?
• Averages and distributions:
o The measure of average is one way to describe and summarise a data set. It is also used to compare one data set to another. Because it is used to describe a data set it should be slowly developed along side other ways of describing data.
o Students need to develop a picture in their minds about how the data may look when it is graphed. To help them develop the picture, ask them to predict the shape of the distribution and then after they have plotted the data ask them to compare their prediction with the graph.
o Always ask students to describe the distribution of the data in a plot. Younger students will describe the shape as a bump, clump or even an object that is familiar to them such as a rabbit or a worm. This is the beginning of describing the central tendency and distribution of the data. Use a mixture of student language e.g. ‘Where is the bump? How many bumps are there? What does that mean?’ while slowly change the language to more sophisticated statistical language ‘Where does most of the data lie?’

Conclusion
• Student’s conclusions should relate back to their original question.
• They should also mention any features they had noticed or wondered about and investigated.
• A list of statistical language has been provided to help students construct a conclusion.
• Remind students to give reasons based on what they have found out in their investigation.
• Encourage students to use some statistical language in their conclusion. Here are some phrases that might be useful:
o For histograms: normal/skewed distribution, middle range
o For scatterplots: outlier, slope of the graph, trend
o For all analyses: these data suggest, probably, most, spread, shape, relative
proportions, ratios, middle range.
• Get students to think about who would be interested in their conclusions and why?

How To Develope Geometrical Thinking

For children, geometry begins with play. Rich and stimulating instruction in geometry can be provided through playful activities with mosaics, such as pattern blocks or design tiles, with puzzles like tangrams, or with the special seven-piece mosaic shown in figure 1. Teachers might ask, How can children use mosaics, and what geometry do they learn? Before addressing these questions and exploring the potential of the mosaic puzzle for teaching geometry, I note some misconceptions in the teaching of mathematics and present some of my ideas about levels of thinking in geometry.

Misunderstandings in Teaching Mathematics

The teaching of school mathematics - geometry and arithmetic - has been a source of many misunderstandings. Secondary school geometry was for a long time based on the formal axiomatic geometry that Euclid created more than 2000 years ago. His logical construction of geometry with its axioms, definitions, theorems, and proofs was for its time - an admirable scientific achievement. School geometry that is presented in a similar axiomatic fashion assumes that students think on a formal deductive level. However, that is usually not the case, and they lack prerequisite understandings about geometry. This lack creates a gap between their level of thinking and that required for the geometry that they are expected to learn.

A similar misunderstanding is seen in the teaching of arithmetic in elementary school. As had been done by Euclid in geometry, mathematicians developed axiomatic constructions for arithmetic, which subsequently affected the arithmetic taught in schools. In the 1950s, Piaget and I took a stand against this misunderstanding. However, it did not help, for just then, set theory was established as the foundation for number, and school arithmetic based on sets was implemented worldwide in what was commonly called the "new math." For several years, this misconception dominated school mathematics, and the end came only after negative results were reported. Piaget's point of view, which I support affectionately, was that "giving no education is better than giving it at the wrong time." We must provide teaching that is appropriate to the level of children's thinking.

Levels of Geometric Thinking

At what level should teaching begin? The answer, of course, depends on the students' level of thinking. I begin to explain what I mean by levels of thinking by sharing a conversation that two of my daughters, eight and nine years old at the time, had about thinking. Their question was, If you are awake, are you then busy with thinking? "No," one said. "I can walk in the woods and see the trees and all the other beautiful things, but I do not think I see the trees. I see ferns, and I see them without thinking." The other said, "Then you have been thinking, or you knew you were in the woods and that you saw trees, but only you did not use words."

I judged this controversy important and asked the opinion of Hans Freudenthal, a prominent Dutch mathematician and educator. His conclusion was clear: Thinking without words is not thinking. In Structure and Insight (van Hiele 1986), I expressed this point of view, and psychologists in the United States were not happy with it. They were right: If nonverbal thinking does not belong to real thinking, then even if we are awake, we do not think most of the time.